В геометрии часто бывают задачи, связанные со сторонами треугольников. Например, часто необходимо найти сторону треугольника, если две другие известны.
Треугольники бывают равнобедренными, равносторонними и неравносторонними. Из всего разнообразия, для первого примера выберем прямоугольный (в таком треугольнике один из углов равен 90°, прилегающие к нему стороны называются катетами, а третья – гипотенузой).
Длина сторон прямоугольного треугольника
Решение задачи следует из теоремы великого математика Пифагора. В ней говорится, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы: a²+b²=c²
- Находим квадрат длины катета a;
- Находим квадрат катета b;
- Складываем их между собой;
- Из полученного результата извлекаем корень второй степени.
Пример: a=4, b=3, c=?
- a²=4²=16;
- b² =3²=9;
- 16+9=25;
- √25=5. То есть, длина гипотенузы данного треугольника равна 5.
Если же у треугольника нет прямого угла, то длин двух сторон недостаточно. Для этого необходим третий параметр: это может быть угол, высота, площадь треугольника, радиус вписанной в него окружности и т.д..
Если известен периметр
В этом случае задача ещё проще. Периметр (P) представляет собой сумму всех сторон треугольника: P=a+b+c. Таким образом, решив простое математическое уравнение получаем результат.
Пример: P=18, a=7, b=6, c=?
1) Решаем уравнение, перенося все известные параметры в одну сторону от знака равенства:
P=a+b+c
c=P-a-b
2) Подставляем вместо них значения и вычисляем третью сторону:
c=18-7-6=5, итого: третья сторона треугольника равна 5.
Если известен угол
Для вычисления третьей стороны треугольника по углу и двум другим сторонам, решение сводится к вычислению тригонометрического уравнения. Зная взаимосвязь сторон треугольника и синуса угла, несложно вычислить третью сторону. Для этого нужно возвести обе стороны в квадрат и сложить их результаты вместе. Затем вычесть из получившегося произведение сторон, умноженное на косинус угла: C=√(a²+b²-a*b*cosα)
Если известна площадь
В этом случае одной формулой не обойтись.
1) Сначала вычисляем sin γ, выразив его из формулы площади треугольника:
S=a*b* sin γ/2
sin γ= 2S/(a*b)
2) По следующей формуле вычисляем косинус того же угла:
sin² α + cos² α=1
cos α=√(1 – sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)
3) И снова воспользуемся теоремой синусов:
C=√((a²+b²)-a*b*cosα)
C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))
Подставив в это уравнение значения переменных, получим ответ задачи.