Системой неравенств принято называть запись нескольких неравенств под знаком фигурной скобки (при этом число и вид неравенств, входящих в систему, может быть произвольным).

Чтобы решить систему, необходимо найти пересечение решений всех входящих в неё неравенств. Решением неравенства в математике называется всякое значение переменой, при котором данное неравенство верно. Другими словами, требуется найти множество всех его решений – оно и будет называться ответом. В качестве примера попробуем научиться решать систему неравенств методом интервалов.

Свойства неравенств

Для решения поставленной задачи важно знать основные свойства, присущие неравенствам, которые можно сформулировать следующим образом:

• К обеим частям неравенства можно прибавить одну и ту же функцию, определённую в области допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства;
• Если f(x) > g(x) и h(x) – любая функция определенная в ОДЗ неравенства, то f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
• Если обе части неравенства умножить на положительную функцию, определённую в ОДЗ данного неравенства (или на положительное число), то получим неравенство, равносильное исходному;
• Если обе части неравенства умножить на отрицательную функцию, определённую в ОДЗ данного неравенства (или на отрицательное число) и знак неравенства изменить на противоположный, то полученное неравенство эквивалентно данному неравенству;
• Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, а неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать;
• Неравенства одного смысла с положительными частями можно почленно умножать, а неравенства, образованные неотрицательными функциями, можно почленно  возводить  в  положительную  степень.

Чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство отдельно, а затем сопоставить их. В результате будет получен положительный или отрицательный ответ, который означает, имеет ли система решение или нет.

Метод интервалов

При решении системы неравенств математики часто прибегают к методу интервалов, как к одному из наиболее эффективных. Он позволяет свести решение неравенства f(x) > 0 (<, <, >) к решению уравнения f(x) = 0.

Суть метода заключается в следующем:

• Найти область допустимых значений неравенства;
• Привести неравенство к виду f(x) > 0(<, <, >), то есть перенести правую часть влево и упростить;
• Решить уравнение f(x) = 0;
• Изобразить на числовой прямой схему функции. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(х);
• Записать ответ в виде объединения  отдельных  множеств, на  которых f{x) имеет соответствующий знак. Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки.